ちょっと、そこ！マニホールドサプライヤーとして、私はしばしばマニホールドに関連するあらゆる種類の技術的なものについて尋ねられます。かなり現れる質問の1つは、「マニホールドのホモトピーグループは何ですか？」です。さて、すぐに飛び込み、理解しやすい方法でこれを分解しましょう。
まず、マニホールドとは何かについて話しましょう。簡単に言えば、マニホールドは、局所的にユークリッド空間のように見える派手な数学的なオブジェクトです。それはあなたが歩くことができる表面と考えてください、しかし、それはあらゆる方法で湾曲してねじれていることができます。たとえば、球体は2次元マニホールドです。球体の小さなパッチを取ることができ、十分に近くにズームインすると、平らな紙（2次元のユークリッド空間）のように見えます。
現在、ホモトピーグループは、マニホールドの「穴」と「ねじれ」を研究する方法です。最もよく知られているホモトピーグループは、$ \ pi_1 $として示される基本グループです。基本的なグループは、マニホールドの次元の穴について説明します。あなたがマニホールドにいて、あなたがポイントから始めて、ループで歩き回り、同じポイントに戻ってくるとしましょう。基本グループは、これらのループをホモトピーと呼ばれる特定の同等の関係に分類します。
「ホモトピーまで」とはどういう意味ですか？まあ、1つのループを壊したり、開始点と終了ポイントを移動せずに、1つのループを他のループに連続的に変形させることができれば、2つのループがホモトピックです。たとえば、球体では、任意のループを単一のポイントに縮小することができます。したがって、球体の基本的なグループである$ \ pi_1（s^2）$は些細なことです。つまり、1つの要素しか持っていません（単一のポイントにとどまるループの等価クラス）。
しかし、より高い - 次元のホモトピーグループはどうですか？ $ n $ -Thホモトピーグループ、$ \ pi_n $は、マニホールドの$ n $ - 寸法穴について教えてくれます。たとえば、$ \ pi_2 $は約2次元の穴です。 2次元の穴は、3 -Dスペースのバブルのようなものと考えることができます。
ホモトピーグループの計算は、首の本当の痛みになる可能性があります。実際、ほとんどのマニホールドにとって、ホモトピーグループのすべてを見つけることは非常に困難です。しかし、比較的簡単にできる場合もあります。最も有名な結果の1つは、$ n $ -Sphere、$ s^n $です。 $ \ pi_k（s^n）$は、$ k = 0 $の場合を除き、$ k <n $の場合は些細なこと（つまり、1つの要素のみ）であることがわかっています。 0 -THホモトピーグループ、$ \ pi_0 $は、マニホールドの接続されたコンポーネントについて教えてください。マニホールドが接続されている場合（マニホールドのパスに沿って歩くことで他のポイントに任意のポイントから取得できます）、$ \ pi_0 $は些細なことです。
$ k = n $、$ \ pi_n（s^n）$がintegers $ \ mathbb {z} $に等型である場合。これは、$ n $ -n $ sphereの$ n $ - 寸法ループを整数によって分類できることを意味します。この整数は、$ n $ - 寸法の意味で球体を「包む」回数と考えることができます。
さて、なぜホモトピーグループを気にする必要があるのですか？まあ、それらは数学と物理学の多くの分野で非常に重要です。たとえば、物理学では、ホモトピーグループを使用して、空間のトポロジー - 時間マニホールドを理解することができます。また、さまざまなトポロジ環境での粒子とフィールドの挙動を研究するのにも役立ちます。
マニホールドの世界では、異なるホモトピーグループ間にいくつかのクールな関係があります。最も有名なものの1つは、Hurewiczの定理です。 Hurewicz定理は、ホモトピーグループと多様体の相同性グループとの関係を示しています。相同性グループは、多様体の穴を研究する別の方法ですが、場合によっては計算が少し簡単です。 Hurewiczの定理は、特定の条件下で、最初の非些細なホモトピーグループと最初の非些細な相同性グループは同型であると述べています。
マニホールドサプライヤーとして、私は現実の世界のあらゆる種類の多様体に対処しています。電気アプリケーションであろうと他の産業用途であろうと、ホモトピーグループのようなトポロジカル特性を理解することは本当に役立ちます。たとえば、電気システムでは、配線や接続の目的にマニホールドを使用します。この点で素晴らしい製品はです銅配線端子。これらの端子は、多くの電気マニホールドの重要な部分であり、有線を接続するための信頼性が高く効率的な方法を提供します。
マニホールドを設計および製造するときは、物理的特性だけでなくトポロジー特性も考慮する必要があります。ホモトピーグループは、さまざまな状況でマニホールドがどのように動作するかについての洞察を提供できます。たとえば、マニホールドに非些細なホモトピーグループがある場合、それはマニホールドを介した電気や他の物質の流れに影響を与える可能性のある「隠された」トポロジー特徴があることを意味するかもしれません。
私たちが一般的に供給するマニホールドの例をいくつか見てみましょう。最も基本的なものの1つは、トーラス$ t^2 $です。トーラスはドーナツの形のようなものです。その基本グループ、$ \ pi_1（t^2）$は、$ \ mathbb {z} \ times \ mathbb {z} $に異性です。これは、トーラスに2つの独立したタイプのループがあることを意味します。ドーナツの穴を回るループと、ドーナツの体を回る別のループを持つことができます。これらの2つのループを互いに連続的に変形させることはできません。
もう1つの興味深いマニホールドは、射影面である$ \ mathbb {r} p^2 $です。射影平面の基本グループ、$ \ pi_1（\ mathbb {r} p^2）$、$ \ mathbb {z}/2 \ mathbb {z} $です。これは、ループには2つの等価クラスがあることを意味します。1つはポイントに縮小できるものと、もう1つは点まで縮小することはできませんが、2回回避すると、それをポイントまで縮小できます。
マニホールドの市場にいる場合は、研究、産業用途、その他のものであろうと、ホモトピーグループを理解することで、より良い決定を下すのに役立ちます。そのトポロジカル特性に基づいて、適切なタイプのマニホールドを選択できます。そして、それが私たちが入ってくるところです。多様なサプライヤーとして、それぞれに独自のプロパティセットを備えた幅広いマニホールドが利用可能です。
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したがって、マニホールドの購入を考えている場合は、ラインをドロップしてください。私たちはあなたがあなたのアプリケーションに最適な製品を手に入れることを確認するためにここにいます。そして、誰が知っているか、多分ホモトピーグループについて少し理解することはあなたのプロジェクトの優位性を与えます。
参照
- ハッチャー、アレン。 「代数トポロジー。」ケンブリッジ大学出版局、2002年。
- ミルナー、ジョンW.「微分可能な視点からのトポロジー」。プリンストン大学出版局、1997年。
